回路方程式
下図に交流RL回路の回路図を示す。抵抗R,インダクタンスLのコイルで構成され、波高値$E_m$、周波数$\omega$である交流電源$e=E_msin\omega t$が接続されたRL回路を考える。
この回路にキルヒホッフの第２法則を適用すると、回路方程式は下記のようになる。
$$ L\frac{di}{dt}+Ri=E_msin\omega t \label{eq1}\tag{1} $$
回路方程式の解法
過渡解と定常解
($\ref{eq1}$)式を電流iについて解く場合、過渡解を$it$,定常解を$i_s$とすると（１）式の解は
$$ i=i_t+i_s \label{eq2}\tag{2} $$
($\ref{eq2}$)式を($\ref{eq1}$)式に代入すると
$$ L(\frac{di_t}{dt}+\frac{di_s}{dt})+R(i_t+i_s)=E_msin\omega t $$ $$ (L\frac{di_t}{dt}+Ri_t)+(L\frac{di_s}{dt}+Ri_s)=E_msin\omega t \label{eq3}\tag{3} $$
($\ref{eq3}$)式をそれぞれ$i_t$と$i_s$について２つの式に分離する。過渡状態では電源の電圧が０、定常状態では時間微分の値が０になる。
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
L\frac{di_t}{dt}+Ri_t=0 &\\
L\frac{di_s}{dt}+Ri_s=E_msin\omega t & \label{eq4}\tag{4}
\end{cases}
\end{equation}
$$
過渡解の導出
($\ref{eq1}$)式を解くために、 $$ L\frac{di_t}{dt}+Ri_t=0 $$ を解き過渡解を求める。
この式を変形すると $$ \begin{aligned} L\frac{di_t}{dt} &= -Ri_t \\ \frac{di_t}{i_t} &= -\frac{R}{L}dt \\ \int{\frac{di_t}{i_t}} &= -\frac{R}{L}\int{dt} \\ \ln |i_t| &= -\frac{R}{L}t+C \\ i_t &= Ae^{-\frac{R}{L}t}(A=\pm e^C) \end{aligned} $$
定常解の導出
次に $$ L\frac{di_s}{dt}+Ri_s=E_msin\omega t \label{eq5}\tag{5} $$ をとき、定常解を求める。
過渡解$i_t$と同様に、定常解$i_s$が減衰項$e^{-\frac{R}{L}t}$をもち、かつ係数Aが時間tの関数A(t)であるとした式
$$ i_s=A(t)e^{-\frac{R}{L}t} $$
になる。この式を($\ref{eq5}$)式に代入して、
$$ \begin{aligned} L(\frac{dA(t)}{dt}e^{-\frac{R}{L}t}-\frac{R}{L}A(t)e^{-\frac{R}{L}t})+RA(t)e^{-\frac{R}{L}t}&=E_msin\omega t \\ L\frac{dA(t)}{dt}e^{-\frac{R}{L}t}&=E_msin\omega t \\ dA(t)&=\frac{E_m}{L}e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt \\ A(t)&=\frac{E_m}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt \end{aligned} $$
この、積分の部分のみを計算すると
$$ \begin{aligned} \int e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt &= \frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t-\frac{\omega L}{R}\int e^{\frac{R}{L}t}cos\omega t dt \\ &=\frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t - \frac{\omega L}{R}(\frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}cos\omega t + \frac{\omega L}{R}\int e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt) \\ \lbrace 1+(\frac{\omega L}{R})^2\ \rbrace \int e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt &= \frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t - \omega (\frac{L}{R})^2e^{\frac{R}{L}t}cos\omega t \\ \int e^{\frac{R}{L}t}sin\omega t dt &= \frac{L}{R^2+(\omega L)^2}e^{\frac{R}{L}t}(Rsin\omega t- \omega L cos \omega t) \end{aligned} $$
したがって、係数A(t)は、( $$ A(t)=\frac{E_m}{R^2+(\omega L)^2}e^{\frac{R}{L}t}(Rsin\omega t-\omega L cos\omega t) $$
ゆえに定常解$i_s$は、 $$ \begin{aligned} i_s&=\frac{E_m}{R^2+(\omega L)^2}(Rsin\omega t- \omega L cos \omega t) \\ &= \frac{E_m}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}sin(\omega t - \phi) \end{aligned} $$
ただし$\phi=tan^{-1}\frac{\omega L}{R}$
参考文献