• テイラー展開とは
• マクローリン展開とは
• マクローリン展開の具体例

テイラー展開とは

テイラー級数を得ることをテイラー展開という。

テイラー級数とは関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したもの

数式に表すと以下の通り

$$ \begin{aligned} f(x)&=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \ &= f(a) + f’(a)(x-a) + \frac{f’’(a)}{2!}(x-a)^2 \ & + \frac{f’’’(a)}{3!} (x-a)^3 + \frac{f’’’’(a)}{4!} (x-a)^4 + \cdot \cdot \cdot \end{aligned} $$

マクローリン展開とは

０の周りでのテイラー展開のことを舞うローリン展開という。

数式に表すと以下の通り

$$ \begin{aligned} f(x)&=\Sigma_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \ &= f(0) + f’(0)(x) + \frac{f’’(0)}{2!}x^2 \ & + \frac{f’’’(0)}{3!} x^3 + \frac{f’’’’(0)}{4!} x^4 + \cdot \cdot \cdot \end{aligned} $$

マクローリン展開の具体例

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdot \cdot \cdot + \frac{x^n}{n!} + \cdot \cdot \cdot , (|x| < \infty ) $$

$$ sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdot \cdot \cdot + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdot \cdot \cdot , (|x| < \infty ) $$

$$ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdot \cdot \cdot + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdot \cdot \cdot , (|x| < \infty ) $$